Anexo 1. Matemáticas para todos. Derivada total en la práctica. Ejemplo 1. ¡Di adiós a las dudas derivando para siempre!

Lo que nunca os contó el de física I porque nunca hay suficiente tiempo para dar la asignatura y que hace que tengáis serios problemas en la parte de cinemática, además de dar problemas en asignaturas posteriores.

En esta entrada del Anexo 1 del «MANUAL PRACTICO: COMO SACARSE UNA INGENIERIA SIN MORIR EN EL INTENTO» enseñamos paso a paso a resolver derivadas simbólicas en un ejercicio que podrías encontrarte cualquier día en las clases de Mecánica de tu facultad.

De la entrada anterior, recordamos cómo es una derivada total:

dzdt=fxdxdt+fydydt

En este ejemplo nos centraremos en las matemáticas detrás de un problema de mecánica.

Ejemplo 1. Halla la ecuación del movimiento de una cosa. Calcula las derivadas parciales de la siguiente función respecto de θ, φ y sus derivadas.

(φ,θ,φ.,θ.)=34MR2θ.2+16Ml2φ.2+12MRlθ.φ.·cos(θφ)+Mg[R·cos(θ)+l2cos(φ)]

En este tipo de ejercicios es normal encontrar derivadas temporales de las variables de una función como variables. Estas variables llevan uno (velocidad) o dos puntos (aceleración) encima (θ sería una velocidad angular).

Para distinguir mejor las variables, pondremos θ y sus derivadas en rojo, y φ y sus derivadas en verde.

 

(θ,φ,θ.,φ.)=34MR2θ.2 +16Ml2φ.2 +12MRlφ.θ.cos(θφ)+MgRcos(θ)+L2cos(φ)

 

Sin entrar en detalles irrelevantes para esta entrada, haremos derivadas parciales de cada variable por separado, y luego una derivada total (respecto del tiempo) de las derivadas parciales respecto de las velocidades angulares.

Es un poco complicado de ver al principio, pero si le dedicas un rato entenderás bien cómo tratar con estas funciones.

Derivadas respecto de θ (ecuaciones 1, 2, 3, de arriba a abajo).

Derivadas parciales respecto de θ:

θ=12MRlθ.φ.sen(θφ)MgRcos(θ)θ.=32MR2θ.+12MRlφ.cos(θφ)ddtθ.=32MR2θ..+12MRlφ..cos(θφ)12MRlφ.θ.sen(θφ)+12MRlφ.sen(θφ)φ.

 

Así queda (3) tras sacar factor común:

ddtθ.=32MR2θ..+12MRlφ..cos(θφ)12MRlφ.sen(θφ)(θ.φ.)

 

Para ir de (2) a (3): el primer sumando no tiene dificultad. Se deriva respecto del tiempo y ya está. El segundo puede considerarse como un producto de funciones. Lo mejor es empezar derivando φ punto dejando el resto intacto. Esto es tan simple como simplemente «derivarlo respecto del tiempo«.

Después se deriva θ, que está en un coseno, lo que da -1/2MR…sen(…)θ punto, y por último, se deriva el φ dentro del coseno teniendo en cuenta que tiene un menos delante.

Repetimos todo el proceso con φ (igual que antes, se pondrá en colores las variables que hay que derivar respecto del tiempo en (5) para obtener (6). Si una variable no fue pintada, no fue derivada).

Igual que en (2) y (3), para las variables en azul más oscuro y en naranja, harías una derivada parcial para pasar de coseno a seno, y luego una derivada temporal de la variable, ya que el coseno es función del ángulo, y el ángulo es función del tiempo (de arriba a abajo: ecuaciones 4, 5, 6).

Derivadas parciales respecto de φ

φ=12MRlθ.φ.sen(θφ)Mgl2sen(φ)φ.=13Ml2φ.+12MRlθ.cos(θφ)ddtφ.=13Ml2φ..+12MRlθ..cos(θφ)+12MRlθ.sen(θφ)φ.12MRlθ.sen(θφ)θ.

Reflexión final

Lo peor de estos problemas es tener que prestar mucha atención en las variables a derivar y derivarlas bien, sobre todo si estan dentro de senos, exponenciales, etc. Si no se derivan bien, el problema va mal y perdiste una mañana derivando como un tolai (idiota).

Si alguien se pregunta qué es esa «L» tan bonita, es la lagrangiana de una función. Es igual a la energía cinética del sistema menos la energía potencial. Derivando la lagrangiana como en este ejemplo se pueden obtener las ecuaciones de movimiento de un sistema (ecuaciones de Lagrange).

ddtqj.+qj=0 

Normalmente es más sencillo resolver un problema de dinámica con estas ecuaciones que con las leyes de Newton.

Introducción al Anexo 1, ejemplo 2.

Problema sacado de “MECÁNICA. PROBLEMAS EXPLICADOS. Roberto D. Carril, Javier Frano S., Ediciones Júcar”. Os recomiendo este libro para hacer algunos problemas de física I.

 

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